Estatística na Mão

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Teste de Friedman

Introdução

O teste de Friedman serve para testar a hipótese de que vários grupos relacionados, têm todos, a mesma distribuição (Vieira 2003).
Da mesma forma que o teste de Kruskal-Wallis, este teste é um substitutivo ao teste F para análise de variância paramétrica, sendo utilizado quando as amostras, cujas observações podem verificar valores com acentuada variação e em cada tratamento são constituídos blocos com a intenção de que isto resulte em um pareamento considerável entres os diversos tratamentos (Rodrigues, 2010).
O teste de Friedman pressupões que a variável em análise seja medida em escala ordinal ou numérica. (Vieira 2003).
De forma análoga aos demais testes, formula-se a H0 e a H1. Para testar a H0, utiliza-se tabela de χ², com grau de liberdade k-1.(Rodrigues, 2010)

Equação

O valor do teste de Friedman (\chi_r^2) é calculado através da seguinte equação:
\chi_r^2= \frac{12}{nk\left(k+1\right)} \times \left(\sum_{i=1}^k R_i^2\right)-3n\left( k+1\right)
Onde: n = número de blocos; k = o número de tratamentos; Ri = a soma das ordens atri-buídas aos dados do tratamento i, nos blocos n.

Para os casos de empate entre observações de mesmo bloco, calcula-se a média aritmética das ordens. A ordenação dos valores se dá dentro dos blocos.

Exemplo

Exemplo: Foram coletadas cinco amostras em quatro profundidades (tratamentos) em cinco áreas diferentes, delimitados pelas características edáficas do solo (blocos). Este solo foi exposto há poluentes de uma determinada fábrica. Assim sendo, quer saber se o poluente está distribuído de forma igual entre as profundidades avaliadas, ou seja, as concentrações do poluente são iguais em todas as profundidades (Hipótese Nula ou H0). Os resultados da análise foram as seguintes:

Blocos Profundidade (cm)
0-10 11-20 21-30 31-50
Área A 12 13 16 7
Área B 8 9 12 5
Área C 14 20 22 6
Área D 17 16 21 11
Área E 12 15 16 10

Tabela com os valores dos postos (rank)

Blocos Profundidade (cm)
0-10 11-20 21-30 31-50
Área A 12 (2) 13 (3) 16 (4) 7 (1)
Área B 8 (2) 9 (3) 12 (4) 5 (1)
Área C 14 (2) 20 (3) 22 (4) 6 (1)
Área D 17 (3) 16 (2) 21 (4) 11 (1)
Área E 12 (2) 15 (3) 16 (4) 10 (1)
Total R1= 11 R2= 14 R3= 20 R4= 5
*Os valores entre parênteses e em negrito correspondem à ordenação dos tratamentos dentro dos blocos (linhas). Sendo o valor Ri as somas dos valores de ordenação nos tratamentos (colunas).

Resolução

Substituindo os valores na fórmula para o cálculo do valor χr², teremos:

\chi_r^2= \frac{12}{5 \times4\left(4+1\right)} \times \left(11^2+14^2+20^2+5^2\right)-3 \times 5\left(4+1\right) \\\\ \chi_r^2= \frac{12}{20 \times 5} \times \left(121+196+400+25\right)- 75 \\\\ \chi_r^2= \frac{12}{100} \times \left(742\right)- 75 \\\\ \chi_r^2= 0,12 \times 742 - 75 \\\\ \chi_r^2= 89,04 - 75 \\\\ \chi_r^2= 14,04

Como valor de graus de liberdade é igual a k-1 graus de liberdade e sendo k=4 (tratamentos), têm-se 3 graus de liberdade. A partir da tabela χ² (Tabela qui-quadrado). Os valores para 5 e 1% de probabilidade são 7,82 e 11,32, respectivamente.
Sendo o valor de χr² calculado maior que os valores da tabela de χ², rejeita-se a hipótese nula (H0) e aceita a hipótese alternativa (H1). Ou seja, a profundidade de 21-30 cm tem uma maior concentração do poluente que as demais profundidades avaliadas, nas áreas onde foram coletadas amostras.

Calculando Friedman com R

O arquivo de dados do exemplo pode ser baixado aqui, assim como o script pronto, que pode ser baixado aqui

Script

#Ler os dados da arquivo e converte em uma matriz
dados=data.matrix(read.table("http://estatisticanamao.agroamb.com.br/files/friedman_profundidade.csv",header = TRUE, sep=";"))

#Realiza o cálculo da ANOVA de Friedman
friedman.test(dados)

#Cria e exibe os gráficos boxplot e barra
boxplot(dados, names=c("0-10","11-20","21-30", "31-50"), ylab="Imaginol-Poluentis (mg.mm³)",col=4)
barplot(dados,xlab="Profundidade",ylab="Imaginol-Poluentis (mg.mm³)", beside=T, names=c("0-10","11-20","21-30", "31-50"))

Resultado

> #Ler os dados da arquivo e converte em uma matriz > dados=data.matrix(read.table("http://estatisticanamao.agroamb.com.br/files/friedman_profundidade.csv",header = TRUE, sep=";"))
>
> #Realiza o cálculo da ANOVA de Friedman
> friedman.test(dados)

Friedman rank sum test

data: dados
Friedman chi-squared = 14.04, df = 3, p-value = 0.002851

>
> #Cria e exibe os gráficos boxplot e barra
> boxplot(dados, names=c("0-10","11-20","21-30", "31-50"), ylab="Profundidade",col=4)
> barplot(dados,xlab="Profundidade",ylab="Imaginol-Poluentis (mg.mm³)", beside=T, names=c("0-10","11-20","21-30", "31-50"))
>

Gráfico boxplot dos exemplo de poluição por profundidade

Figura 1. Gráfico boxplot do exemplo de poluição por profundidade.

Gráfico boxplot dos exemplo de poluição por profundidade

Figura 2. Gráfico barras do exemplo de poluição por profundidade.

Tabela de Qui-Quadrado (χ²)

Referências

Rodrigues, W.C., 2010, Estatística Aplicada: 8ª Edição Revisada e Ampliada Com listas de Exercícios. Edição do autor, 62 p.

Vieira, S.,2003. Bioestatística: tópicos avançados. 2ª ed., Rio de Janeiro, Elsevier. 216 p.

Como citar este artigo:
Rodrigues, William Costa, 2016. Teste de Friedman. Estatística na Mão. Disponível em: http://estatisticanamao.agroamb.com.br/estatisticanamao/artigos.aspx?ID=13?ID=13. [Acesso em: 14.12.2017].



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